Blaurock / Faßbender

Interaktiver Grundkurs Technische Mechanik, Band 1

Jochen BlaurockAxel Faßbender

Interaktiver Grundkurs Technische Mechanik

Band 1

VORWORT

DIE INTERAKTIVEN FUNKTIONEN IN DER ÜBERSICHT:

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VORWORT

Warum sollte man ein Lehrbuch zu einem Thema schreiben, das – zumindest in Deutschland – durch einschlägige Werke ausgiebig besetzt ist?

Insbesondere an Hochschulen für angewandte Wissenschaften greifen Kolle-ginnen und Kollegen in der ingenieurwissenschaftlichen Ausbildung gerne auf diese Werke zurück, orientieren sich teilweise nur an einem oder meist mehreren Werken und reichern ihre Lehre mit der selbst erfahrenen akade-mischen Ausbildung sowie ihrer anschließenden Berufserfahrung an. So geben sie sich und den Studierenden eine verlässliche Orientierung.

Im Zuge der Digitalisierung werden seit einigen Jahren mehr und mehr Lern- und Lehrvideos in der Hochschullehre entwickelt und eingesetzt, die sich hinsichtlich Qualität, Setting und Dauer teils stark unterscheiden. Der stringente Einsatz multimedialer Lernmaterialien und die Gestaltung der Lehrformate ist dabei eine didaktische, aber auch ressourcengreifende Herausforderung.

Mit dem Interaktiven Grundkurs Technische Mechanik: Band 1 möchten wir einen neuen Weg einschlagen. Das Enhanced E-Book verknüpft klassisch aufbereitete Lerninhalte mit interaktiven Funktionen. Die Fachinhalte wer-den durch das konsequente Zusammenspiel von Texten und Grafiken vermit-telt. Zahlreiche Grafiken sind mit interaktiven Funktionen angereichert, die die Neugier wecken und den Lernprozess durch selbst bestimmbare Aktio-nen stärken sollen. Dazu zählen Darstellungsabfolgen oder Animationen, die durch einen Klick auf die entsprechenden Schaltsymbole ausgelöst werden. Eine Übersicht der verschiedenen Typen von interaktiven Funktionen und der dazugehörigen Schaltsymbole finden Sie auf der nebenstehenden Seite.

Interaktive Aufgaben zur Technischen Mechanik: Band 1 (ISBN 978-3-446-46238-0) ist die ideale Ergänzung zu diesem Grundkurs. Mit der Aufgaben-sammlung können die Lerninhalte praktisch angewendet und erprobt wer-den. Die interaktiven Funktionen unterstützen das Erreichen von Lernzielen.

Wir wünschen Ihnen viel Freude mit diesem interaktiven Lehrbuch!

Jochen BlaurockAxel Faßbender

INHALT

INHALT

INHALT

3.3.2 Allgemeine räumliche Kraftsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Schwerpunkte 119

4.1 Schwerpunkt eines Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.2 Schwerpunkte einfacher Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.3 Zusammengesetzte Objekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.4 Guldinsche Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

4.5 Standsicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Gleichgewicht 139

5.1 Tragwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.2 Lager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

5.2.1 Lager in räumlichen Systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

5.2.2 Lager in ebenen Systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

5.3 Gelenke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5.4 Gleichgewichtsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

5.5 Lagerreaktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

5.6 Mehrkörpersysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

5.7 Statische Bestimmtheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

5.7.1 Notwendiges Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

5.7.2 Hinreichendes Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

Fachwerke 185

6.1 Aufbau von Fachwerken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

6.2 Statische Bestimmtheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

6.2.1 Notwendiges Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

6.2.2 Hinreichendes Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

6.3 Nullstäbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

6.4 Knotenschnittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

6.5 Rittersches Schnittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

Schnittgrößen 209

7.1 Darstellung von Schnittgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

7.2 Schnittgrößen unter Punktlasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

7.2.1 Balken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

7.2.2 Rahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

7.2.3 Bögen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

7.3 Schnittgrößen unter Streckenlasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

7.3.1 Darstellung von Streckenlasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

7.3.2 Resultierende Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

INHALT

7.3.3 Integrationsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

7.4 Zustandslinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

Haftung 263

8.1 Trockene Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

8.2 Schiefe Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

8.3 Seilreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

8.4 Keilreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

8.5 Rollreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

8.6 Axiale Gleitlager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

8.7 Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

Arbeit 291

9.1 Begriff der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

9.2 Prinzip der virtuellen Verrückungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

9.2.1 Grafische Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

9.2.2 Formale Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

INDEX 325

Einteilung der Mechanik

Grundlagen

1

Grundlagen

1 Grundlagen1.2 Gesetze der Mechanik

1

wissenschaftlichen Studiengängen ist.

Werden Verzerrungen (also Dehnungen und Scherungen) am Körper betrachtet, befinden wir uns im Bereich der Festigkeitslehre. Probleme zur Festigkeitslehre werden in Interaktiver Grundkurs Technische Mechanik: Band 2 (ISBN 978-3-446-46330-1) behandelt. In diesem Teilgebiet spielt die Beanspruchung des konstruktiven Systems und damit die Geometrie eine wesentliche Rolle. Zur Dimensionierung einer Konstruktion ist immer auch die Untersuchung der querschnittsbezogenen Belastung (= Beanspruchung) notwendig.

Bei der Berücksichtigung der Bewegung von Körpern, also im Bereich der Dynamik, unterscheidet man weiterhin zwischen Kinetik und Kinematik. Die Kinematik beschreibt geometrische Bewegungsabläufe von Körpern ohne die Berücksichtigung von wirkenden Kräften. In der Ingenieurwissenschaft wer-den solche kinematischen Betrachtungen häufig verwendet, um Kollisions-probleme bei komplexen Bewegungsabläufen zu erkennen. Luftausströmer in Fahrzeuginnenräumen bedürfen beispielsweise immer einer sehr genauen kinematischen Untersuchung. Das Teilgebiet der Kinetik berücksichtigt dagegen auch die Wirkung von (Trägheits-)Kräften auf ein betrachtetes Sys-tem.

In allen Bereichen wird die klassische newtonsche1 Mechanik verwendet. Das bedeutet, dass in den Aufgaben davon auszugehen ist, dass die Masse des betrachteten Systems konstant ist und auftretende Geschwindigkeiten deutlich unterhalb der Lichtgeschwindigkeit liegen. Mit anderen Worten: Effekte aus der Relativitätstheorie spielen keine Rolle.

Gesetze der Mechanik

Newtonsche Gesetze

Jeder weiß sicherlich aus seiner Erfahrung heraus, was mit dem Begriff der Kraft gemeint ist, und trotzdem fällt es unglaublich schwer, das Phänomen zu beschreiben. Die Kraft ist ein abstrakter Begriff, und sie lässt sich leider auch nicht direkt beobachten. Vielmehr ist es so, dass wir nur ihre Wirkung wahrnehmen können. So ist beispielsweise beim Anschieben eines Fahr-

1 Grundlagen1.2 Gesetze der Mechanik

1

zeugs (= Kraft) die Bewegung desselben (= Wirkung) unmittelbar erkenn-bar. Genauso sehen wir, dass sich ein Gummiband dehnt (= Wirkung), wenn wir an ihm ziehen (= Kraft).

Die Kinetik beschäftigt sich nun mit dem Zusammenhang zwischen Kräften und der dadurch hervorgerufenen Bewegung. Isaac Newton hat den Zusam-menhang als Erster in seinem Hauptwerk Philosophiae Naturalis Principia Mathematica2 im Jahr 1686 beschrieben. Diese Beschreibung nennen wir heute das erste newtonsche Gesetz (oder: lex prima, Trägheitsprinzip, Träg-heitsgesetz, Inertialgesetz). Das Buch ist übrigens heute noch – auch auf Lateinisch – erhältlich.

Erstes newtonsches Gesetz

Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmig geradlinigen Bewegung, sofern er nicht durch einwirkende Kräfte zur Änderung seines Zustands gezwungen wird.

Die erzwungene Änderung des Bewegungszustandes eines Körpers ist hier-bei nichts anderes als die Beschleunigung desselben. Der Fall, dass diese Beschleunigung Null ist, wird im Teilgebiet der Statik behandelt und ist somit ein Sonderfall der Kinetik. Das heißt: Grundsätzlich dürfen in der Sta-tik Kräfte auf das betrachtete System wirken, sie heben sich jedoch immer gegenseitig auf.

Ist diese betrachtete Kraft nicht Null, so bewirkt sie somit eine Beschleuni-gung des Körpers in der Richtung, in der die Kraft wirkt (Kraftwirkungslinie oder einfach nur Wirkungslinie). Je größer die Kraft ist, desto höher ist auch die Beschleunigung. Die Beschleunigung eines Körpers durch eine Kraft (also die Änderung der Geschwindigkeit mit der Zeit) ist somit dem Betrag der Kraft proportional.

Die Proportionalitätskonstante ist dabei das Maß für die Trägheit des Kör-pers; sie entspricht bei translatorischen Bewegungen der Masse des Kör-pers. Damit wird aus (1.1) Gleichung (1.2).

1 Grundlagen1.2 Gesetze der Mechanik

1

Im Teilgebiet der Statik ist die auf ein System wirkende Kraft gleich Null. Da die Masse nie den Wert Null annehmen kann und die Beschleunigung die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit ist, folgt somit aus (1.2) die Beziehung (1.3).

Dieser Zusammenhang wurde von Newton im zweiten newtonschen Gesetz (oder: lex secunda, Aktionsprinzip) formuliert.

Zweites newtonsches Gesetz

Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft pro-portional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt.

Weiterhin beschreibt Newton, dass Kräfte zwischen zwei Körpern immer paarweise auftreten. Beispielsweise wirkt bei dem vorangehend beschriebe-nen Anschieben eines Fahrzeugs zum einen eine Kraft auf das Fahrzeug, aber gleichzeitig spüren wir eine (gleich große) Kraft auf unsere Arme. Dies wird im sogenannten dritten newtonschen Gesetz (oder: lex tertia, Wechsel-wirkungsprinzip, Gegenwirkungsprinzip, Reaktionsprinzip) beschrieben.

Drittes newtonsches Gesetz

Kräfte treten immer paarweise auf: Übt ein Körper A auf einen anderen Kör-per B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio) (kurz: actio gleich reac-tio).

Obwohl uns diese Sätze heute vollkommen trivial vorkommen, hat Newton damit die bis heute gültige Grundlage für die Berechnungen in der klassi-schen Mechanik geliefert.

Weitere Axiome der Statik

In diesem Grundkurs beschäftigen wir uns mit der Statik starrer Körper, weshalb man manchmal auch von Starrkörperstatik (oder Stereostatik) spricht. In einem solchen System werden nur nicht deformierbare, unendlich starre Körper betrachtet. Das bedeutet, dass einwirkende Kräfte keine Ver-formungen an den betrachteten Systemen bewirken. Ein starrer Körper ist hierbei natürlich eine rein theoretische Konstruktion, die (egal wie groß die

1 Grundlagen1.3 Größen und Einheiten

Starres und deformierbares System

Starrkörpersystem

System mit deformierbaren Körpern

1

einwirkenden Kräfte sind) niemals versagen wird. Natürlich gibt es ein sol-ches System in der Praxis nicht. Da die Verformungen in der Realität jedoch häufig sehr klein sind, ist es durchaus zulässig, mit derart starren Modellen zu rechnen.

Neben den bereits beschriebenen newtonschen Gesetzen gibt es weitere Axiome, die in der Statik Anwendung finden. Ein Axiom ist hierbei ein Grundsatz, der durch reale Beobachtungen immer wieder als richtig erkannt, aber nicht weiter hergeleitet wird.

Verschiebungsaxiom

Jeder Punkt auf der Wirkungslinie einer Kraft kann in der Stereostatik als Kraftangriffspunkt aufgefasst werden. Man kann eine Kraft also beliebig auf ihrer Wirkungslinie verschieben, ohne dass sich ihre Wirkung auf das Gesamtsystem ändert. Dieses Verhalten nennt man auch Linienflüchtigkeit von Kräften, und es ist in Abbildung 1.2 dargestellt. Die zugehörigen Vekto-ren heißen oftmals auch liniengebundene Vektoren (im Gegensatz zu völlig freien oder fest gebundenen Vektoren). Es spielt in dem Beispiel überhaupt keine Rolle, an welcher Stelle auf der Wirklinie die Kraft eingezeichnet ist bzw. angreift. Der Effekt (vermutlich eine translatorische Bewegung des Fahrzeugs nach rechts) ist immer derselbe. Ist der Körper dagegen defor-mierbar, führt das Verschieben der Kraft zu völlig unterschiedlichen Verfor-mungen am Fahrzeug, wie nach dem Umschalten in Abbildung 1.2 zu erken-nen ist. In solchen Systemen gilt das Verschiebungsaxiom also nicht.

Superpositionsprinzip und Linearität

Bringt man Kräfte einzeln auf und addiert die Reaktionen der Einzelbelas-tungen, so ist das Ergebnis identisch mit dem Lastfall, in dem alle Kräfte gleichzeitig wirken. Da alle Kräfte linear voneinander abhängig sind, erzeugt eine Skalierung auch eine gleichskalierte Reaktion. Das heißt, multipliziert man die angreifenden Kräfte mit einem Faktor s, so verändern sich auch die Reaktionen um den Faktor s.

Grössen und Einheiten

In der technischen Mechanik rechnen wir vornehmlich mit physikalischen Größen (auch Größenwert; messbar; Produkt aus Zahlenwert und Einheit). Die Verwendung von Größenarten (z. B. Länge, Masse, Zeit) und Einheiten (z. B.: Meter, Kilogramm, Sekunde) sind in der Norm DIN EN ISO 80000 [1.1] geregelt. Das dort beschriebene Größensystem heißt International Sys-

1 Grundlagen1.3 Größen und Einheiten

SI-Basiseinheiten

Auswahl abgeleiteter Einheiten

1

tem of Quantities (ISQ). Die zugehörigen Einheiten basieren auf den Sys-tème international d’unités (SI) und werden daher auch SI-Einheiten genannt.

Grundsätzlich können Einheiten beliebig gewählt werden, aber eine unab-hängige Wahl für jede Größe führt zu zusätzlichen Zahlenfaktoren in den Zahlenwertgleichungen. In der Praxis ist es deshalb manchmal deutlich sinn-voller, ein einziges Einheitensystem so auszuwählen, dass die Zahlenwert-gleichungen genau die gleiche Form, einschließlich der Zahlenfaktoren, wie die entsprechenden Gleichungen in einem gewählten Größensystem haben. Um ein solches Einheitensystem einzuführen, wird zunächst eine (und nur eine!) Einheit für jede Basisgröße definiert. Die Einheiten der Basisgrößen werden als Basiseinheiten bezeichnet. Danach werden die Einheiten aller abgeleiteten Größen als Funktionen der Basiseinheiten in Übereinstimmung mit den Gleichungen im Größensystem ausgedrückt. Die Einheiten der abge-leiteten Größen werden als abgeleitete Einheiten bezeichnet. Ein auf diese Weise definiertes Einheitensystem wird als kohärent in Bezug auf das Grö-ßensystem bezeichnet.

In Tabelle 1.1 sind alle sieben Basisgrößen des ISQ dargestellt. In diesem Grundkurs, werden jedoch nur die ISQ-Basisgrößen Länge, Masse und Zeit zur Beschreibung der Vorgänge benötigt.

Die Einheit für die Geschwindigkeit ist ein Beispiel für eine aus Basiseinhei-ten abgeleitete Einheit. Sie beschreibt die zurückgelegte Strecke (Länge) pro Zeit und hat damit die auf das Basissystem bezogene, kohärente Einheit m/s. Das Gleiche gilt dann auch für die Beschleunigung als Änderung der Geschwindigkeit pro Zeit (Einheit: (m/s) / s = m/s2) und die Kraft als Produkt von Masse und Beschleunigung (Einheit: kg · (m/s2)).

Wenn die abgeleiteten Einheiten in ihrer Schreibweise unübersichtlich wer-den (wie beispielsweise die vorangehend dargestellte Einheit einer Kraft), bietet es sich an, sie durch spezielle Namen zu ersetzen, um die Schreib-weise zu vereinfachen. In der Mechanik sind vor allem die beiden in Tabelle 1.2 gezeigten Einheiten von Bedeutung.

Es ist wichtig, die diesen Abkürzungen zugrundeliegenden Basiseinheiten zu kennen, da mit den Einheiten in den Größenwertgleichungen genauso gerechnet werden muss wie mit den Zahlenwerten selbst.

1 Grundlagen1.3 Größen und Einheiten

Wichtige SI-Vorsatzzeichen

1

Um extrem große oder sehr kleine Zahlenwerte zu vermeiden, werden dezi-male Vielfache der kohärenten SI-Einheiten mit den in Tabelle 1.3 aufgeliste-ten Vorsätzen gebildet. Zum Beispiel entsprechen 1 000 m genau einem km. Das Vorsatzzeichen k für Kilo entspricht hier also dem Faktor 103. Achtung: Die so entstehenden Vielfachen und Teile von SI-Einheiten sind dann nicht mehr kohärent in Bezug auf das ISQ, dürfen aber natürlich verwendet wer-den, solange die Faktoren der Vorsatzzeichen korrekt eingepflegt werden. Bei der Angabe von Größenwerten kann es nun zweckmäßig sein, die Vor-sätze so zu wählen, dass die Zahlenwerte zwischen 0,1 000 und 9 999 liegen – und so wird es auch in diesem Grundkurs gehandhabt.

Hinweis:Da in der technischen Mechanik (bzw. allgemein in der beruflichen Praxis) die Größen häufig mit vielfachen Einheiten eingeführt werden, empfehlen wir grundsätzlich das Mitführen der Einheiten in den einzelnen Rechen-schritten, weil die Kohärenz der Einheiten durch die Vorsätze nicht immer gegeben ist. Weiterhin ermöglicht dieses Vorgehen eine rudimentäre Kont-rolle der Rechenschritte durch eine Plausibilitätsprüfung über die Einheiten. Spätestens zum angegebenen Ergebnis muss jedoch auf jeden Fall die kor-rekte Einheit angegeben werden – ansonsten ist eine Bewertung des Ergeb-nisses nicht möglich.

Einheitenzeichen bleiben auch im Plural unverändert (also ohne Plural-s), und es folgt nach dem Zeichen kein Punkt (Ausnahme am Satzende, dann aber nur ein Punkt). Weiterhin wird zwischen dem Größenwert und dem Ein-heitenzeichen ein (in der Textverarbeitung geschütztes und schmales) Leer-zeichen eingefügt. Ausnahmen: Bei Grad (°) und Minuten bzw. Sekunden zu Winkelangaben (' und ") steht die Einheit direkt an der Größe. Insbesondere wird das Leerzeichen gerne bei den Einheiten °C und % vergessen.

Oftmals werden in einem mathematischen Term unterschiedliche Einheiten verwendet. Dabei können Einheiten genauso gekürzt werden wie Zahlen-werte. Wir multiplizieren zum Umrechnen von Einheiten den betreffenden Term mit einem Faktor, der dem Zahlenwert eins entspricht. Beispielsweise entsprechen 60 Sekunden genau einer Minute. Man kann also schreiben:

Die Gleichung gilt natürlich nur für die physikalischen Größenwerte in Zusammenhang mit den Einheiten Minuten und Sekunden. Ohne Einheiten wäre dagegen Gleichung (1.5) mit den reinen Zahlenwerten richtig.

1 Grundlagen1.4 Signifikante Stellen

1

Soll nun beispielsweise die Größe 5 Minuten in der Einheit Sekunden beschrieben werden, kann mit dem Term (1.4) multipliziert werden. Dabei wird die Einheit transformiert, das Ergebnis bleibt jedoch (aufgrund der Multiplikation mit eins) gleich groß.

Das gilt im Übrigen auch, wenn gleiche Einheiten mit unterschiedlichen Vor-sätzen vereinheitlicht werden müssen. Zum Beispiel werden in Gleichung (1.7) 2 000 Meter in Kilometer umgerechnet.

Signifikante Stellen

Bei der Angabe von Ergebnissen aus den Rechenaufgaben stellt sich immer wieder die Frage, wie genau die Ergebnisse dargestellt werden müssen bzw. wo das Ergebnis gerundet werden darf. Hierbei spielen die signifikanten Stellen einer Größe eine wichtige Rolle.

Die signifikanten Stellen sind die Stellen, die mindestens notwendig sind, um ein Ergebnis korrekt zu beschreiben. Was sich zunächst relativ trivial anhört, ist bei genauerer Betrachtung vergleichsweise anspruchsvoll. Bei-spielsweise ist die Angabe von möglichst vielen Stellen nicht zwangsläufig genauer, wenn die Ausgangsgrößen gar nicht mit dieser Genauigkeit erfasst wurden. Insbesondere die Anwendung von Taschenrechnern verleitet oft-mals dazu, zu viele Dezimalstellen anzugeben.

Die Anzahl der signifikanten Stellen eines Zahlenwertes zählt man nach fol-gender Vorgehensweise:

Alle Ziffern, die ungleich Null sind, sind signifikant.

Alle Nullen, die links von der ersten signifikanten Ziffer stehen, sind nicht signifikant. Es ist dabei völlig gleichgültig, ob sie vor oder nach einem etwaigen Komma stehen.

Alle Nullen (auch mehrere hintereinander), die zwischen signifikanten Zif-fern stehen, sind ebenfalls signifikant.

1 Grundlagen1.4 Signifikante Stellen

Signifikante Stellen

1

Alle Nullen, die am rechten Ende einer Zahl stehen, sind signifikant, wenn die Zahl ein Komma aufweist.

Weist die Zahl kein Komma auf, ist die Signifikanz der Nullen am rechten Rand nicht ganz eindeutig. Vielfach geht man in der Wissenschaft davon aus, dass die Nullen durch Runden entstanden sind und daher nicht signi-fikant sind. In diesem Grundkurs sollen die Nullen am rechten Rand jedoch auch bei ganzen Zahlen exakt sein und daher zu den signifikanten Stellen zählen.

Einige Beispiele von Größenwerten und die zugehörigen signifikanten Stel-len sind in Tabelle 1.4 gezeigt. Dort ist auch deutlich zu erkennen, dass es zwischen der Anzahl der signifikanten Stellen und der Nachkommastellen keinen Zusammenhang gibt. Vielmehr bestimmt die Anzahl der signifikanten Stellen, wie viele Nachkommastellen im verwendeten Zahlenformat darge-stellt werden dürfen.

Addiert (oder subtrahiert) man nun verschiedene Zahlenwerte, dann wird die Anzahl der Nachkommastellen des Ergebnisses durch die Anzahl der Nachkommastellen des Wertes bestimmt, der die geringste Anzahl an Nach-kommastellen hat. Beispielsweise hat in Gleichung (1.8) der Zahlenwert 0,34 die wenigsten (= zwei) Nachkommastellen. Der Wert ist auf ein hundertstel Kilonewton genau angegeben. Obwohl die beiden anderen Größen auf ein zehntausendstel Kilonewton genau angegeben sind, muss das Ergebnis auf den Rundstellenwert 0,01 (= zwei Nachkommastellen) gerundet werden. Die Anzahl an signifikanten Stellen des Ergebnisses kann sich bei einer Addition oder Subtraktion, im Vergleich zu den signifikanten Stellen der Summanden, durchaus erhöhen oder auch verringern.

Werden bei einer Addition oder Subtraktion verschiedene und/oder verwendet, diese vereinheitlicht den.

Multipliziert (oder dividiert) man zwei Zahlen, ist der Zahlenwert mit der geringsten Gesamtanzahl von signifikanten Stellen (Achtung: nicht der Nachkommastellen!) für die Angabe des Ergebnisses relevant. In Beispiel