El Cuaderno de ejercicios Matemática PSU es una obra colectiva, creada y diseñada en alianza entre Ediciones UC y el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana.

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©2015 Pontificia Universidad Católica de Chile, Alameda 390, Santiago, Chile / Santillana del Pacífico S. A. de Ediciones, Andrés Bello 2299
Piso 10, oficinas 1001 y 1002, Providencia, Santiago, Chile.

ISBN edición impresa: 978-956-15-2526-9 / ISBN edición digital: 978-956-14-2675-7 / Inscripción N° 248.392

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PRESENTACIÓN GENERAL PROYECTO PSU

La colección de Manuales de preparación PSU elaborada por Editorial Santillana y Ediciones UC tiene como objetivo ser un apoyo eficiente y práctico para el postulante que prepara la Prueba de Selección Universitaria. Cada manual aborda los contenidos de los temarios correspondientes a la respectiva área (Lenguaje y Comunicación, Matemática, Ciencias e Historia, Geografía y Ciencias Sociales) y profundiza en la comprensión y aplicación de las habilidades exigidas por el Marco Curricular vigente. Además de lo anterior, los manuales constituyen un aporte efectivo para quienes cursan Educación Media, ya que facilitan la adquisición de conocimientos y el desarrollo de competencias y habilidades requeridas por el Currículum de estos niveles. Asimismo, son un material de apoyo y orientación para los docentes que necesitan sistematizar, reforzar y aplicar los contenidos abordados en la PSU.

Finalmente, se debe destacar que cada manual está alineado con el actual proceso de admisión, tanto en lo que respecta al temario como a la estructura de las secciones que componen la Prueba.

La PSU en la asignatura de Matemática está compuesta por 80 preguntas de opción múltiple organizadas según los porcentajes que se muestran en la tabla.

Las preguntas están distribuidas según las habilidades de comprensión, aplicación, análisis, síntesis y evaluación.

Además, en el proceso actual de admisión, de las 80 preguntas propuestas, 75 serán evaluadas.

El Cuaderno de ejercicios Matemática PSU se ha estructurado según los siguientes ejes: Números, Álgebra, Geometría y Estadística y probabilidad. Para cada eje se han propuesto preguntas resueltas y un grupo de test con 30 preguntas tipo PSU cada uno, lo que hace un total de aproximadamente 1.100 reactivos tipo PSU. Al final del cuaderno el estudiante podrá encontrar un ensayo de 80 preguntas alineado con el temario DEMRE. Este ensayo estará disponible en nuestra plataforma online .

El Manual de preparación PSU Matemática se ha creado con el objetivo de preparar al estudiante para rendir la PSU correspondiente a esta asignatura. Este material se ha distribuido en virtud de los ejes temáticos considerando los Objetivos Fundamentales (OF) y los Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO) que propone el temario DEMRE para la asignatura de Matemática y que han sido definidos en el Marco Curricular.

Ediciones UC fue creada en 1975 con el objetivo de prestar un servicio editorial de apoyo a la docencia, la investigación y la creación literaria realizada en la Pontificia Universidad Católica de Chile (PUC), y se ha consolidado como la principal editorial universitaria del país, con distribución en Chile y América Latina que evidencia la investigación de vanguardia y el trabajo de excelencia de los académicos de la PUC, así como de autores externos.

Su misión consiste en ser un actor relevante en el diálogo con la cultura y una ventana a la sociedad, brindando un espacio efectivo para la publicación de libros de la más alta calidad que amplíen y difundan las fronteras del conocimiento, todo de acuerdo a los principios que rigen a la Pontificia Universidad Católica de Chile.

Editorial Santillana ha estado presente en nuestro país durante los últimos 46 años como líder en el acompañamiento a numerosas generaciones en su educación escolar.

El motor y principal foco de Santillana ha sido y sigue siendo apoyar la tríada enseñanza-aprendizaje-evaluación en todos los niveles de escolaridad y en las principales áreas curriculares. De esta manera, asume el desafío constante de contribuir a la formación académica de los niños y adolescentes de Chile, con textos adecuados a sus niveles de comprensión, atractivos, desafiantes y rigurosos, y de ser un aporte relevante para los docentes por medio de la elaboración de guías didácticas y otros materiales de apoyo a su labor, especialmente diseñados según sus necesidades.

Editorial Santillana, siempre a la vanguardia en detectar y apoyar los requerimientos de una educación de calidad, ha incorporado distintas herramientas y soportes que amplían las posibilidades de interactuar con los contenidos, migrando desde el texto impreso al mundo digital, lo que se enmarca en la necesaria adecuación a las demandas que la sociedad del siglo XXI impone a los educandos. Asimismo, Santillana ha diversificado la oferta de proyectos y materiales complementarios para responder a distintos desafíos educativos, como en este caso la preparación para el ingreso a la Educación Superior.

ÍNDICE

Eje temático 1 • Números

Preguntas tipo PSU resueltas

Test Nº 1: Operatoria en ℤ

Test Nº 2.1: Números racionales (ℚ)

Test Nº 2.2: Números racionales (ℚ)

Test Nº 3: Operatoria en ℝ

Test Nº 4: Potencias

Test Nº 5: Raíces

Test Nº 6: Logaritmos

Test Nº 7: Números complejos (ℂ)

Test acumulativo Números

Eje temático 2 • Álgebra

Preguntas tipo PSU resueltas

Test Nº 1: Álgebra

Test Nº 2: Expresiones algebraicas fraccionarias

Test Nº 3: Ecuaciones e inecuaciones

Test Nº 4: Sistemas de ecuaciones e inecuaciones lineales

Test Nº 5: Funciones

Test Nº 6: Ecuación y función cuadrática

Test Nº 7: Función potencia, raíz cuadrada, exponencial y logarítmica

Test acumulativo Álgebra

Eje temático 3 • Geometría

Preguntas tipo PSU resueltas

Test Nº 1: Plano cartesiano y vectores

Test Nº 2: Transformaciones isométricas

Test Nº 3: Rectas y planos

Test Nº 4: Volumen y área de cuerpos geométricos

Test Nº 5: Congruencia

Test Nº 6: Semejanza

Test Nº 7: Teorema de Thales y división de un segmento en una razón dada

Test Nº 8: Triángulo rectángulo: teoremas de Euclides y de Pitágoras

Test Nº 9: Ángulos en la circunferencia

Test Nº 10: Relaciones entre trazos en una circunferencia

Test acumulativo Geometría

Eje temático 4 • Estadística y probabilidad

Preguntas tipo PSU resueltas

Test Nº 1: Estadística

Test Nº 2: Probabilidad

Test acumulativo Estadística y probabilidad

Anexo: Test complementarios

Test Nº 1: Razones y proporciones

Test Nº 2: Proporcionalidad

Test Nº 3: Trigonometría

Ensayo tipo PSU

SIMBOLOGÍA MATEMÁTICA

Preguntas tipo PSU resueltas

Resolución:

Tomás tiene en un principio $ 1.200.000, luego hace los siguientes gastos:

• Ropa: de $ 1.200.000, que corresponde a calcular es decir, gasta $ 240.000 y le quedan $ (1.200.000 – 240.000) = $ 960.000.

• Calzado: de $ 960.000, que corresponde a calcular , es decir, gasta $ 120.000 y le quedan $ (960.000 – 120.000) = $ 840.000.

Para calcular la fracción que representa el dinero restante, se debe hacer lo siguiente:

Observaciones y comentarios:

En este ejercicio es conveniente tener claro que para calcular el dinero utilizado en la compra de calzado se debe considerar la diferencia entre el dinero que se tenía en un principio y el gastado en la ropa. Además, una vez que se haya determinado la fracción correspondiente, se debe simplificar hasta obtener una fracción irreducible.

Respuesta:

Resolución:

En I, se tiene que:

En II, se tiene que:

En III, se tiene que:

De lo anterior se observa que las expresiones I y III son iguales a 1.

Observaciones y comentarios:

En la expresión I, es conveniente tener claro que una potencia de la forma a^–n, con a , es equivalente con . Lo anterior se utiliza para calcular 4^–1.

Toda potencia de base distinta de cero al elevarla a cero da como resultado 1, lo cual se utiliza para resolver la expresión II.

Para resolver la expresión III, el valor de la potencia (–1)ⁿ, con n un número impar, dará como resultado –1.

Respuesta:

Resolución:

En la imagen anterior, es posible identificar distintos triángulos rectángulos, en los cuales se puede aplicar el teorema de Pitágoras para calcular las medidas que faltan:

Calculada la medida de , se prosigue con el triángulo DCA.

Calculada la medida de , se prosigue con el triángulo CBA.

De lo anterior se observa que las medidas de y representan números irracionales.

Observaciones y comentarios:

Al resolver la ecuación que se relaciona con la aplicación del teorema de Pitágoras, se obtienen dos soluciones, una positiva y otra negativa. Pero dado el contexto del problema, se consideró solo la positiva, ya que corresponde a la medida del lado de un triángulo.

Respuesta:

Resolución:

Al considerar la información entregada en (1) no se puede asegurar que la expresión es un número irracional, ya que no se entrega mayor información respecto de b; solo se sabe que b . Si , se tiene que y la expresión no es necesariamente un número irracional.

Si se considera la información entregada en (2), se sabe que la expresión ab no es un cuadrado perfecto, es decir, es un número irracional , donde el numerador es un número irracional y el denominador es un número entero positivo. Luego, el cociente entre un número irracional y un número entero positivo es un número irracional.

Observaciones y comentarios:

En este tipo de preguntas no se pide resolver el problema planteado, sino que verificar si los datos proporcionados en su enunciado más la información entregada en (1) o (2) son suficientes para resolver el problema.

Respuesta:

Test N^o 1: Operatoria en

1. El resultado de la expresión (–3) • (–2)² + (–2)³ : 2 es:

2. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?

I. 3 • (–2) = –6

II. 3 • (–3) < (–5)²

III. 3² > 2³

A) Solo I

B) Solo I y II

C) Solo II y III

D) Solo I y III

E) I, II y III

3. –3 + 3 : 3 – 3 • 3 =

A) –3

B) –11

C) –9

D) –12

E) 0

4. El resultado de la expresión –[–1 + (–1 + 1) –1 – (–1 + 1) + 1] es:

A) –1

B) –2

C) 0

D) 1

E) 2

5. Si al número –8 se le resta el triple de –6 y al resultado se le agrega el cubo de –2, resulta:

A) 2

B) 6

C) 18

D) –7

E) –34

6. El resultado de la expresión 2 • (–3)² + (–45) : (–3)² – (–2) • (–1)⁷ es:

A) 1

B) 10

C) –12

D) –1

E) 11

7. Si a = –1, b = –2, c = –3 y d = –4, ¿cuál es el valor numérico de la expresión [–a + b • (d – c)] – a?

A) 4

B) 1

C) –1

D) 14

E) 16

8. Si a = –3, ¿cuál es el valor de –a³ – a²?

A) –36

B) –18

C) –15

D) 18

E) 36

9. Respecto del valor absoluto de un número real, ¿qué relación es falsa?

A) |–9| > |–8|

B) |–8| < – |–8|

C) |12| > |–10|

D) –|7| < |0|

E) –|1| > – |–7|

10. ¿Cuál es el resultado de la expresión 3⁰ – 2⁴ + 3³ – 5¹?

A) 7

B) 6

C) –4

D) 39

E) –3

11. El rectángulo de la figura representa una cartulina en la que se quieren poner fotografías cuadradas de igual tamaño hasta cubrirla exactamente sin que estas se superpongan. ¿Cuál es la mayor longitud del lado de las fotografías que cumplen esta condición?

A) 3 cm

B) 4 cm

C) 5 cm

D) 6 cm

E) 7 cm

12. Cinco números enteros consecutivos suman cero. ¿Cuál es el menor de ellos?

A) 1

B) 0

C) –1

D) –2

E) –3

13. Si A, B, C y D son números enteros tales que B > A, B < D, B > C y A < C, ¿cuál es el orden decreciente de dichos números?

A) D > C > B > A

B) D > C > A > B

C) D > B > C > A

D) A > B > C > D

E) D > B > A > C

14. Si x y x < –1, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) menor(es) que 1?

I. –x³

II. x⁵

III. 8x²

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) I, II y III

15. Se define: “Dos números son compatibles si el cociente entre el mayor y el menor es un número entero múltiplo de 3”. De acuerdo con esta definición, ¿cuál de los siguientes pares de números son compatibles?

A) 12 y 3

B) 60 y 12

C) 33 y 3

D) 54 y 27

E) 72 y 12

16. El valor de x en la igualdad –{4 –[12 – (5 + x)]} = 0 es:

A) 3

B) 2

C) 1

D) –2

E) –3

17. Si b es el antecesor de a, entonces (a + b)(a – b) – (a – b)² es:

A) –2a

B) 2a – 1

C) 2a – 2

D) 2a + 1

E) 2a + 2

18. Si a, b, c con la condición de que a = 0, b < a y c > a, ¿cuál de las siguientes relaciones es falsa?

A) a : b = 0

B) b • c < 0

C) a + b < 0

D) c : b > 0

E) c – a > 0

19. En la expresión a + b + c = 2p, se sabe que a = 2, b = 5 y c = –3. ¿Cuál es el valor numérico de la expresión p²(p + a)(p + b)(p – c)?

A) –56

B) –112

C) 280

D) 112

E) 560

20. A las nueve de la mañana de un día, la temperatura fue de –4 ºC y a las tres de la tarde, de 5 ºC. ¿Cuánto varió la temperatura?

A) –9 ºC

B) 9 ºC

C) 1 ºC

D) –1 ºC

E) 10 ºC

21. Si a y b son números enteros consecutivos tales que a < b, entonces siempre se cumple que:

I. a : b = 1

II. a + b < 1

III. a • b = a² + a

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) Solo II y III

22. Si 4.3N1 representa un número entero de 4 cifras divisible por 3, ¿qué valores puede tener el dígito N para que se cumpla la divisibilidad?

A) {1, 4, 7}

B) {1, 3, 5}

C) {1, 2, 3}

D) {1, 4, 8}

E) {1, 4, 9}

23. Sean M, N, Q tres números enteros distintos, tales que M > N > 0, Q = 0. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es falsa?

A) QN + M > 0

B) MQ – NQ = 0

C) M : N + Q > 0

D) MNQ – MN < 0

E) Q – M + N > 0

24. Se sabe que X > Y > Z y una persona debe reunir $ X. Primero reúne $ Y y luego gasta $ Z. ¿Cuánto le falta para completar la suma requerida?

A) $ (Y + X + Z)

B) $ (Y – Z + X)

C) $ (–X – (Z – Y))

D) $ (Z + X – Y)

E) $ (X – (Y + Z))

25. Se tiene que n es múltiplo de 3. Entonces, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I. n : 3 es múltiplo de 3.

II. 27n es múltiplo de 3.

III. n + 84 es múltiplo de 3.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) Solo II y III

26. La relación x > y > z, con x, y, z se cumple si:

(1) x > z, y > z

(2) x > y

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) o (2).

E) Se requiere información adicional.

27. Si x , ¿x < 0?

(1) x³ es negativo.

(2) –x es positivo.

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) o (2).

E) Se requiere información adicional.

28. Si x, y , ¿x + y es impar?

(1) x – y es impar.

(2) xy = 6

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) o (2).

E) Se requiere información adicional.

29. La expresión x³ – x tiene un único valor numérico si:

(1) x > 0

(2) x² – 9 = 0

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) o (2).

E) Se requiere información adicional.

30. Se puede determinar la cantidad total de personas, entre hombres y mujeres, que asisten a una fiesta si:

(1) es posible formar 15 parejas (hombre y mujer) entre los presentes y quedan 5 hombres sin pareja.

(2) la cantidad de hombres es mayor que la cantidad de mujeres.

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) o (2).

E) Se requiere información adicional.

Respuestas correctas

Test N^o 2.1: Números racionales ()

1. El resultado de la expresión es:

2. Una fracción con numerador y denominador positivo aumenta su valor si:

I. El numerador aumenta.

II. El denominador aumenta.

III. El denominador disminuye.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) Solo I y III

3. En un curso de 40 estudiantes, los del total son niños. Si a mediados de año ingresan al curso 5 niñas, ¿cuál es la fracción, respecto del total, que representa a las niñas del curso?

4. Una barra de aluminio mide 0,8 m. Por efecto de los cambios de temperatura, luego de 15 horas aumentó en una milésima parte su longitud. ¿Cuál es su medida?

A) 0,81 m

B) 0,88 m

C) 0,801 m

D) 0,8008 m

E) 0,8001 m

5. Si n es un número entero negativo distinto de –1, ¿cuál de las siguientes fracciones es la menor?

6. Si , entonces, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I. b • c < a²

II. (a • b)^–1 < c

III. < a

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo II y III

E) I, II y III

7. En un triángulo rectángulo isósceles, ambos ángulos interiores agudos disminuyen en un tercio su medida. Entonces la medida del tercer ángulo interior del triángulo resultante debe:

A) disminuir a su tercera parte.

B) aumentar en su tercera parte.

C) disminuir en sus dos terceras partes.

D) aumentar en sus dos terceras partes.

E) aumentar en su novena parte.

8. En un triángulo ABC, uno de sus ángulos interiores mide x, otro mide 30º más que la mitad de x y el tercer ángulo mide la tercera parte de x aumentado en 18º. ¿Cuál es la diferencia entre el mayor y el menor ángulo interior del triángulo ABC?

A) 72º

B) 24º

C) 30º

D) 42º

E) 66º

9. Un estanque tiene ocupada sus tres cuartas partes con agua. Si se le agregan 500 litros, el agua ocupa hasta los cinco sextos del estanque. ¿Cuál es su capacidad?

A) 6.000 litros.

B) 5.500 litros.

C) 4.500 litros.

D) 4.000 litros.

E) 3.500 litros.

10. Un partido de fútbol se desarrolla en dos tiempos de 45 minutos cada uno. ¿Qué fracción del tiempo que dura un partido queda cuando han transcurrido 15 minutos del segundo tiempo?

11. En un grupo de personas, de ellas no tienen hijos, un tercio tiene mellizos y las 35 personas restantes tienen solo un hijo. ¿Cuántas personas forman el grupo?

A) 70 personas.

B) 75 personas.

C) 60 personas.

D) 120 personas.

E) No se puede determinar.

12. En un curso, un día faltaron a clases de los estudiantes. Si ese día asistieron 35 estudiantes, ¿cuántos alumnos componen el curso?

A) 36 alumnos.

B) 38 alumnos.

C) 40 alumnos.

D) 45 alumnos.

E) 48 alumnos.

13. ¿Qué precio tiene una mercadería si los de los de ella equivalen a $ 5.600?

A) $ 15.000

B) $ 18.000

C) $ 21.000

D) $ 28.000

E) $ 42.000

14. Se tienen 13 botellas de L, de las cuales 7 están llenas y 6 a la mitad. ¿Cuántas botellas de L se necesitan para envasar la misma cantidad de litros?

A) 9 botellas.

B) 12 botellas.

C) 14 botellas.

D) 15 botellas.

E) 18 botellas.

15. Una persona compró cuatro séptimos de docenas de naranjas. ¿Cuántas naranjas compró?

16. Si a cuatro enteros dos quintos se le suma el producto de cuatro sextos por tres medios, se obtiene:

17. Si , ¿qué alternativa representa el orden entre ellas?

A) x < y < z

B) x > y > z

C) z > y > x

D) y < x = z

E) x = z < y

18. Los números racionales ordenados de mayor a menor son:

19. ¿Cuántos paquetes de kg de azúcar se pueden formar con 4 sacos de 30 kg cada uno?

A) 90 paquetes.

B) 120 paquetes.

C) 160 paquetes.

D) 180 paquetes.

E) 210 paquetes.

20. ¿Cuál es la expresión truncada a la décima del número 94,177?

A) 94

B) 94,1

C) 94,2

D) 94,17

E) 94,18

21. es igual a:

22. ¿Cuánto es la tercera parte del inverso multiplicativo del número 5?

23. Si , entonces, de las siguientes expresiones, ¿cuál(es) resulta(n) un número entero?

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo II y III

E) Solo I y II

24. El resultado de es:

25. Un basquetbolista practica lanzamientos: convierte m y falla n. ¿Qué fracción del total de lanzamientos falla?

26. ¿Cuál es el precio de kg de manzanas?

(1) 3 manzanas tienen un precio de $ 270.

(2) 3 kilogramos y medio tienen un precio de $ 2.625.

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) o (2).

E) Se requiere información adicional.

27. Si a, b y c son tres números racionales positivos, ¿cuál es el mayor?

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) o (2).

E) Se requiere información adicional.

28. La fracción es positiva si:

(1) p + q > 0

(2) p > 0

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) o (2).

E) Se requiere información adicional.

29. Si , ¿cuál es el valor de c?

(1) a – c = 1

(2) 2a = 10

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) o (2).

E) Se requiere información adicional.

30. Sean x e y números enteros distintos de cero. La fracción representa un número entero positivo si:

(1) x e y tienen el mismo signo.

(2) x > 0, e y es múltiplo positivo de x.

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) o (2).

E) Se requiere información adicional.

Respuestas correctas

Test N^o 2.2: Números racionales ()

1. El resultado de la expresión es:

2. Si n es un número entero positivo, entonces la expresión representa siempre:

A) un número impar.

B) un número par.

C) una fracción equivalente a la unidad.

D) una fracción propia.

E) una fracción impropia.

3. ¿Cuáles fracciones son equivalentes entre sí?

A) Solo I y II

B) Solo II y III

C) Solo I, III y IV

D) Solo I, II y III

E) I, II, III y IV

4. El resultado de la expresión – 2³ : 4² es:

5. Al resolver la expresión 0,0000002 • 5 • 10⁴ resulta:

A) 50.000,2

B) 0,001

C) 0,01

D) 0,1

E) 1,0

6. La edad de Susana, en años, es cinco veces la de Pablo y veces la de María. ¿Qué parte de la edad de Pablo representa la edad de María?

7. ¿Cuál es la representación decimal de la fracción ?

8. Por los tres octavos de una torta se pagan $ 3.600, entonces por los tres quintos de ella se deben pagar:

A) $ 2.160

B) $ 5.760

C) $ 6.760

D) $ 9.600

E) $ 16.000

9.