En este libro se han presentado las herramientas matemáticas y los modelos más simples que nos permiten entender la propagación de enfermedades infecciosas y el efecto de las vacunas. Este era nuestro humilde objetivo.
Como podrás suponer, hay una cantidad ingente de modelos, muchos más complejos, y de temáticas tratadas. Por ejemplo, modelos en los que se adquiere inmunidad frente a una determinada enfermedad únicamente durante un intervalo de tiempo o modelos en los que las vacunas no son efectivas al 100 %, que es lo que se ha supuesto en los temas tratados en estas páginas.
Además, un libro como este no se escribe solo con el genio de los autores, si es que los autores tienen de eso. Por lo tanto, es de recibo reconocer las deudas intelectuales que hemos contraído con los especialistas de este campo de quienes hemos aprendido y tomado ideas. Nuestro trabajo ha consistido simplemente en traducir y hacer entendibles temas ciertamente técnicos y alambicados desde el punto de vista matemático.
Por eso, en esta bibliografía pretendemos dar mérito y reconocimiento a todas las fuentes que hemos consultado durante la escritura de este volumen. Nuestra idea es comentar brevemente cada una de las referencias indicando qué aspectos han sido esenciales para nosotros y qué podrás encontrar en ellas, en caso de que decidas visitarlas.
1.- NEWMANN, M. E. J.,
Networks: An Introduction, Oxford, Oxford University Press, 2010.
Para los que aquí escriben, esta es la biblia del tema de las redes complejas. Todo lo que quieras saber sobre ellas está en este libro. Supone un perfecto punto de partida para adentrarte en el mundo de los grafos y su uso en el estudio de redes complejas.
En él encontrarás una detallada presentación de este campo a medio camino entre las matemáticas y la física. Y, como no podía ser de otro modo, el capítulo 17 se dedica completamente al tema de las epidemias.
Este recomendable libro ocupa un lugar privilegiado de nuestras bibliotecas, pues lo consideramos una joya para aprender, profundizar y ponerse al día. Te prepara para enfrentarte a los trabajos más punteros y actuales en la investigación de redes complejas, lo cual, por supuesto, abarca la epidemiología matemática.
2.- GRIMA, C.,
Vivir en un mundo pequeño. La matemática de las redes sociales, Colección: El mundo es matemático, vol. 52, National Geographic, RBA, 2017.
Se trata de un volumen completamente divulgativo sobre teoría de grafos y redes sociales. En él podréis encontrar una amplia introducción a temas que van desde la definición de grafos hasta el uso de las redes sociales para detectar emergencias humanitarias. Sin duda, una apuesta segura para saber más detalles de los grafos y redes complejas, su evolución y sus características.
3.- POUNDSTONE, W.,
El dilema del prisionero: John von Neumann, la teoría de juegos y la bomba,
traducción de Daniel Manzanares Fourcade, Alianza Editorial, 2015.
En este libro se hace una contundente presentación de la teoría de juegos y su importancia en distintos ámbitos. Con gran claridad expositiva, Poundstone nos lleva a los entresijos de los juegos matemáticos y de sus hipótesis iniciales. Todo ello está aderezado con un magnífico perfil biográfico del que se considera padre de la teoría: John von Neumann.
4.- PRISNER, E.,
Game Theory Through Examples, Colección: Classroom
Resource Materials, vol. 13, The Mathematical Association of America, 2014.
Una delicia de libro donde se expone la teoría de juegos basándose en ejemplos. Este volumen pertenece a una colección diseñada para proporcionar temas de investigación y motivación matemática a alumnos de los niveles estadounidenses análogos a nuestra secundaria y bachillerato.
5.- BROOM, M., RYCHTÁŘ, J., Game-Theoretical Models in Biology, CRC Press, 2013.
Si te interesa la teoría de juegos evolutivos, este es tu libro. Todo un primer paso para introducirse en las entrañas matemáticas de esta teoría y de su uso en biología. Quizá es un libro técnico y duro, pero presenta una gran amplitud de temas biológicos vistos desde la óptica de la teoría de juegos. Hemos disfrutado mucho su lectura, ya que es uno de esos trabajos donde se puede percibir la utilidad de las matemáticas en ámbitos que, en un primer momento, pueden parecer ajenos a ellas.
6.- PASTOR-SATORRAS, R., CASTELLANO, C., VAN MIEGHEM, P., y VESPIGNANI, A.,
«Epidemic Processes In Complex Networks», Reviews of Modern Physics, vol. 87, 31 agosto, 2015, 925.
Este artículo revisa el tema de la propagación de enfermedades en redes complejas, como su propio título indica. Como todos los artículos de revisión, presenta de forma muy completa las líneas de investigación más populares en el campo tratado y las referencias bibliográficas más importantes. Estamos en deuda con esta revisión, ya que hemos consultado muchas de sus fuentes bibliográficas para escribir este libro. Se trata de un artículo fundamental por ser actual y haber sido escrito por especialistas en el tema que han hecho aportaciones fundamentales a este campo científico. Especialmente reseñable es el doctor Romualdo Pastor-Satorras, que desarrolla su investigación en la Universidad Politécnica de Barcelona, en el Departament de Física i Enginyeria Nuclear. Este investigador ha contribuido notablemente a la epidemiología en grafos y tiene varios modelos con su nombre.
7.- CHRISTAKIS, N. A. y FOWLER, J. H.,
«Social Network Sensors for Early Detection of Contagious Outbreaks», PLoS ONE, vol. 5(9), 2010, e12948.
Este espectacular trabajo representa el punto de partida investigativo en la determinación de sensores en redes complejas para tratar de predecir una epidemia, pues los sensores son elementos de cierta popularidad en la red compleja estudiada. El resultado de este artículo muestra cómo estos sensores adquieren la enfermedad mucho antes que el resto de la población y, por lo tanto, cuál es su vital importancia a la hora de controlar un brote infeccioso.
8.- BAUCH, C. T. y EARN, D. J. D.,
«Vaccination and the Theory of Games», PNAS, vol. 11, 9, 2004, 13391-13394.
Este es uno de esos artículos que se citan por el nombre de los autores. Es decir, que los que se dedican a este tema de vacunas y epidemias desde el punto de vista matemático se refieren al mismo como «el Bauch-Earn». Sin duda, lo que se concluye del artículo es sorprendente y descorazonador, en cierto sentido. Usando juegos estáticos, se deduce que no es posible alcanzar una fracción de vacunados que sea segura frente a una enfermedad confiando únicamente en las decisiones que los individuos toman sobre este tema. El artículo ha generado una corriente de investigación muy interesante que trata de dilucidar cuáles son las condiciones que se deben conseguir para que una campaña de vacunación sea efectiva.
9.- BAUCH, C.T. Y BHATTACHARYYA S.,
«Evolutionary Game Theory and Social Learning Can Determine How Vaccine Scares Unfold», PLoS Comput Biol, vol. 8, (4), 2012 e1002452.
En este artículo, los autores muestran cómo las campañas de vacunación voluntarias prácticamente imposibilitan llegar a unas tasas de vacunación óptimas para asegurar el control de una determinada enfermedad. El trabajo se fundamenta en la teoría de juegos evolutivos y establece las condiciones por las que se dan comportamientos que se oponen a las vacunas y los efectos que esto produce.
Los resultados de este trabajo son interesantes y su lectura es provechosa para entender las dinámicas de aceptación y rechazo de la vacunación. Es un artículo al que merece la pena dedicar tiempo de lectura y reflexión.
10.- POLETTI, P.,
Human Behaviour in Epidemic Modelling, Tesis doctoral en Matemáticas, Universidad de Trento, 2010.
Esta tesis doctoral es un magnífico trabajo que nos ayuda a entender cómo el comportamiento y la toma de decisiones afectan al control de epidemias. Sus resultados son interesantes en dos ámbitos. Por un lado, en esta tesis se repasan y se proponen resultados sobre el distanciamiento de los elementos de una red compleja disminuyendo la tasa de contagio. Por otro, se hace una profunda revisión y se plantean nuevos modelos para comprobar cómo las decisiones individuales afectan a las campañas de vacunación.
11.- LERMAN, K., YAN, X. y WU, X.,
«The “Majority Illusion” in Social Networks», PLoS One, vol. 11, (2), 2016, e0147617.
Aquí se pone de manifiesto el problema ilusorio de la mayoría de redes sociales. El artículo es muy completo porque empieza a discutir un ejemplo simple, el que hemos usado en estas páginas, y luego analiza situaciones de redes reales. La conclusión es muy clara e interesante: a veces, las mayorías no son más que una ilusión. De obligada lectura.
12.- LÓPEZ-GOÑI, I.,
Virus y pandemias, Glyphos-Naukas, 2015.
En este hermoso libro escrito por un magnífico divulgador e investigador español encontrarás todo aquello que no hemos tratado aquí sobre enfermedades reales. Te sumergirá en el mundo de los virus y de muchas enfermedades originadas por ellos. Sin duda, un magnífico complemento al libro que tienes en tus manos.
Guardiana abstracta que controla el avance de oscuridad.
Modelos sobre epidemias y vacunas
© De los Autores:
Enrique F. Borja
Clara Grima
© Next Door Publishers
© Wabi Sabi Investments
Primera edición: noviembre 2017
Coeditan: Next Door Publishers S.L. y
Wabi Sabi Investments, S.C.
ISBN: 978-84-946669-9-5
Reservados todos los derechos. No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni sutratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea mecánico, electrónico, por fotocopia, por registro u otros medios, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright.
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Impreso por Gráficas Rey
Impreso en España
Diseño de colección: Ex. Estudi
Autora del sciku: Laura Morrón
Dirección general: Oihana Iturbide
Dirección de la colección: Laura Morrón
Corrección y composición: NEMO Edición y Comunicación
Prólogo
Introducción
1
Mundos pequeños y amigos populares
2
Redes complejas y grafos
3
Jugando a decidir
4
Curvas, subidas y bajadas: funciones y derivadas
5
Epidemias y sus modelos
6
Vacunas
7
Epidemias y vacunas en grafos
8
Opiniones, noticias, mayorías y vacunas
Bibliografía
Las matemáticas salvan vidas. Aunque puede que tú, querido lector, estés en desacuerdo con esta afirmación. Tal vez pienses que las matemáticas te arruinaron la vida durante la adolescencia. Pero la verdad es que las matemáticas te mantienen vivo a cada paso que das. Son las matemáticas las que permiten que los arquitectos puedan calcular la carga de los edificios y de este modo evitar que se derrumben. Cuando cruzas un paso de cebra, el semáforo está en verde el tiempo necesario para que puedas cruzar sin que te atropellen. Y, sobre todo, son las matemáticas las que hacen posible que un cajero automático te expenda dinero si te has quedado sin blanca y, tras haber ligado, necesitas comprar preservativos. Como te decía, querido lector, las matemáticas te salvan la vida a diario.
Así pues, cuando Clara y Enrique me pidieron que prologase este libro que tienes en tus manos, o bien que sujetas con una prótesis, en caso de no tener brazos —prótesis que han sido diseñadas y fabricadas gracias a las matemáticas—, sentí una inmensa alegría —las matemáticas me ayudaron a calcular que mi alegría era mayor que cuando me enteré de mi tercer embarazo pero menor que cuando me compré mi última videoconsola; o, como lo expresaríamos matemáticamente, «3.er embarazo < prólogo < videoconsola»—. Me dije que gracias a esa gran matemática que es Clara y a ese gran físico que es Enrique, ambos enormes divulgadores, por fin quedaría demostrado que las matemáticas salvan vidas, y que para lograr tal objetivo se desentrañaría cómo estas intervienen en el campo de la medicina. Eso sí, cuando digo «campo de la medicina», no me refiero a la gente que toma pastillas «cada dos por tres», ni tampoco me refiero a esos exfumadores que se aplican parches de nicotina diciendo que «a la tercera va la vencida», pero luego van a una boda, recaen y «se quedan más anchos que largos». Más bien me refiero a todo lo que la medicina ha logrado aplicando las matemáticas. En breve descubrirás la relación entre estas y la medicina en cuanto a prevención de epidemias y colchón de vacunación, así como el motivo por el que algunas personas, a pesar de las pruebas científicas, optan por prescindir de las vacunas.
Puede que te parezca un tema complicado, pues en efecto lo es, pero los autores lo han explicado de tal modo que podría entenderlo hasta un niño de primaria, e incluso alguien con predisposición a llevar una corona en su cabeza. Partiendo de la base, te mostrarán las matemáticas en toda su sencillez, desnudas, sin ornamentos. Te irán proponiendo ejercicios para que, si así lo deseas, juegues y experimentes con ellas. Y, cuando por fin hayas dominado el concepto, aumentarán paulatinamente la dificultad, envolviendo en capas esa desnudez de las matemáticas para que, en última instancia, puedas entender su complejidad final. Así que permíteme un consejo: este libro es para leerlo con cuaderno, lápiz, goma de borrar y mucha tranquilidad. Solo así podrás disfrutarlo como merece. Y te resultará divertido, créeme. No hay nada como la satisfacción personal de lograr entender algo que siempre se nos ha atragantado, ya sean las matemáticas, ya sea la relación con una suegra. Lo primero se consigue resolviendo ejercicios; y lo segundo, resolviendo divorcios. ¡Qué maravillosa ironía es el divorcio! Una división en la pareja que multiplica la alegría entre ambos. Las matemáticas salvan vidas de forma insospechada, como ves.
Aunque tal vez creas, querido lector, que exagero llevada por mi admiración profesional hacia Clara y Enrique. Por eso debo aclarar que mi amor a las matemáticas se remonta a mi infancia. Y gracias a esta lectura he comprendido que, cuando en aquella época vendía papeletas para el viaje de fin de curso, fue la teoría de grafos la que me permitió llegar a más gente, ya que a cada conocido le daba 10 papeletas para que se las vendiera a sus conocidos. De este modo, el viaje de estudios acabó saliéndome gratis, lo cual equivale a pagar cero euros… ¡Benditas matemáticas!
También las matemáticas me ayudaron en aquella excursión con los scouts, cuando saqué una barra de chocolate y todos empezaron a pedirme un trozo. Fue tan sencillo como contar cuántas personas había en el autobús —unas 70— y comprobar que la pastilla de chocolate tenía 12 partes divisibles. Tocábamos a 1 parte por cada 6 personas, más o menos. Gracias a las divisiones matemáticas, aprendí que nunca puedes sacar un dulce en público durante una excursión si no hay suficiente para compartir. Y que los niños de 9 años saben manejar una navaja si de ese modo pueden conseguir chocolate.
Incluso ahora, en mi etapa adulta, disfruto enseñando matemáticas a mis hijos pequeños y, sobre todo, a mi hijo adolescente. Practicar las matemáticas con él me ayuda a aliviar la tensión acumulada durante la semana. Como el otro día, sin ir más lejos, cuando me senté junto a su metro setenta y dos de altura a explicarle las ecuaciones de segundo grado. En un momento dado, harto y frustrado porque no lograba entender mis explicaciones, gritó que para qué narices quería él estudiar ecuaciones. Le di un pescozón. «¡¿Por qué me pegas?!», preguntó él. «Para despejarte la incógnita», respondí ya libre de tensiones.
Gracias a las matemáticas, sé que mis posibilidades de llegar a ser concejal tienden a cero tras este chiste, pero que las simpatías de más de un padre y más de un profesor crecen exponencialmente al imaginarse la escena. Porque, querido lector, las matemáticas también sirven para soñar lo imposible e imaginar lo inimaginable, como estar conectados a través de máquinas que procesan la información en micras de segundo. Y si no, que se lo digan a Ada Lovelace, matemática que vivió menos de 40 años pero que aun así tuvo tiempo, en la primera mitad del siglo XIX, de desarrollar el primer algoritmo cuya finalidad era ser procesado por una máquina. Es decir, que Lovelace fue la primera programadora de ordenadores de la historia. Y pese a su incalculable aportación como matemática, obsérvese su insuficiente popularidad, lo cual nos demuestra algo que todos sabemos: las mujeres siempre tardamos más en hacernos valer y nuestro trabajo suele estar menospreciado y pasar desapercibido. Pues bien, a ese mismo obstáculo se enfrentan las matemáticas, tan integradas en otros campos que parece que no existieran. En cualquier caso, querido lector, ahora vas a descubrir, gracias a Clara y Enrique, que no solo los médicos salvan vidas. A partir de ahora, recordarás con otros ojos a quien te impartía clases de Matemáticas en la escuela. Porque las matemáticas salvan vidas.
El libro que tienes en tus manos trata de enfermedades, epidemias y vacunas, como habrás podido deducir del subtítulo. Pero su tema principal es la matemática. Sí, es un libro que tiene por objetivo principal descubrirte qué puede hacer la matemática para salvarnos la vida en lo que a epidemias se refiere.
Por si no te habías dado cuenta, te estamos escribiendo directamente a ti. Sabemos que esta forma de escribir es demasiado «personal», demasiado cercana. El caso es que a nosotros nos gusta escribir así, al contrario de lo que se opina generalmente en el mundo editorial, y por ello desde aquí queremos expresar nuestro más profundo agradecimiento a Laura Morrón, nuestra editora, y a Next Door, por la libertad que nos han dado. También queremos pedir perdón por el atrevimiento de tratarte con tamaña cercanía sin conocernos de nada. Al fin y al cabo, y siendo justos, nosotros estamos exponiendo nuestro conocimiento y nuestro desconocimiento ante un perfecto desconocido. Creemos que por esa parte estamos empatados.
Aquí no vas a encontrar descripciones de enfermedades, ni de síntomas, ni de tratamientos. Lo que está escondido en estas páginas es una breve, y esperamos que amena, introducción a la epidemiología matemática y otras cuestiones relacionadas. Nuestra meta al escribir este libro, así como esperamos la tuya al leerlo, es entender, divertirnos y aprender sobre modelos matemáticos que se aplican al control de la evolución de una enfermedad. Ni más ni menos.
No te preocupes, que nadie te va a examinar tras leer estas páginas. Además, todo lo que necesitas saber para llegar hasta el final está explicado en el libro. Siempre será de agradecer que ya hayas peleado con ecuaciones y demás, pero con que te asegures de leer con el cerebro puesto no debería haber problema alguno. También tienes la opción de acusar a los autores de completos ineptos en caso de que no te enteres de nada, y asunto zanjado.
El asunto que nos traemos entre manos se nos antoja espectacularmente hermoso. Cuando profundices en el libro, descubrirás cómo partiendo de unas ideas muy sencillas se pueden obtener conclusiones muy potentes relacionadas con el comportamiento de las enfermedades. Vas a degustar cómo se despliega todo el poder matemático para enfrentarse a problemas que distan mucho de ser los típicos en los que uno esperaría encontrar fórmulas y ecuaciones. Nos parece prodigioso que podamos hacerlo, y por eso queremos compartirlo contigo.
Hemos estado muy tentados de introducir capítulos sobre distintas enfermedades como la viruela, el sarampión o el ébola y comparar su evolución con lo que aprendemos de los modelos matemáticos. Pero finalmente hemos optado por no hacerlo. Las razones son simples: por un lado, la extensión del libro excedería lo deseable; por otro lado, aquí se van a introducir muchos conceptos e ideas que necesitarán de una breve pero intensa reflexión, con lo que agobiar a nuestros queridos lectores con comparativas entre modelos y realidad se nos antojaba un completo abuso de su tiempo. Tal vez en futuras ediciones retomemos la idea, pero no esta vez.
Como dijo un tal Hawking, cada ecuación o fórmula en un libro de ciencia dirigido al público general divide por dos el número de lectores. Aun así, en este libro hay muchas fórmulas, y están ahí porque nos gusta quedarnos con la mitad de lectores que quieren que les cuenten las cosas como son de verdad, más allá de unos cuantos ejemplos simpáticos, unas alambicadas analogías y varias anécdotas históricas. Aquí solo se habla de matemáticas.
Llegados a este punto, quizá te preguntes cómo consumir este libro. Lo ideal sería que te hicieras con lápiz y papel e intentaras, a las bravas, reproducir los pocos cálculos que hay. Estamos seguros de que se te dibujará una gran sonrisa de satisfacción cuando consigas hilvanar un modelo matemático a tu aire y sin más ayuda que la de este humilde libro.
Sí, sí, sabemos que te mueres de ganas por profundizar en eso de las matemáticas y las enfermedades. Así que no te haremos esperar más. En el libro encontrarás, nada más empezar, cuatro capítulos donde hablaremos de teoría de grafos, teoría de juegos, funciones y ecuaciones diferenciales —aunque no se diga—. Si con esa retahíla de nombres no te mueres de ganas de ir al primer capítulo no sabemos qué más te puede dar el empujón. El objetivo es llenar nuestras mochilas con los conocimientos mínimos necesarios para afrontar la tarea de modelar la evolución de enfermedades con hermosas matemáticas.
El quinto, el sexto y el séptimo capítulo son la esencia del libro. En ellos construiremos —sí, tú también— modelos matemáticos simples para describir cómo evoluciona una enfermedad, cuándo se producen epidemias y si matemáticamente hablando es tan bueno vacunarse como dicen. Empezaremos con modelos simples y luego los trasladaremos a poblaciones estructuradas en forma de grafos.
El octavo capítulo es una maravilla que, sin duda alguna, te sabrá a poco. En él te vas a enfrentar a unas cuantas verdades que probablemente ya has intuido alguna vez, pero que aquí verás bajo una perspectiva matemática. En concreto, nos centraremos en el movimiento antivacunas. Sin alarmismos ni sermones, con matemáticas y poco más.
No te entretenemos más, pues debes de tener ganas de empezar este viaje. Que disfrutes la lectura. Ah, y no olvides pasar por la bibliografía si quieres seguir informándote sobre estos temas.
Capítulo 1: