JAIME CHICA ESCOBAR HERNANDO MANUEL QUINTANA ÁVILA

Chica Escobar, Jaime

Tratado de las Secciones Cónicas: La Hipérbola / Jaime Chica Escobar, Hernando Manuel Quintana Ávila. – 1a ed. – Medellín : Instituto Tecnológico Metropolitano, 2019.

– (Textos Académicos)

Incluye referencias bibliográficas

1. Secciones cónicas 2. Hipérbola I. Quintana Ávila, Hernando Manuel II. Tít. III. Serie

516.15 SCDD 21 ed.

Catalogación en la publicación – Biblioteca ITM

Tratado de las Secciones Cónicas: La Hipérbola

© Instituto Tecnológico Metropolitano

Edición: diciembre 2019

Epub: ISBN 978-958-5414-97-6

Impresa: ISBN 978-958-5414-95-2

Pdf: ISBN 978-958-5414-96-9

Hechos todos los depósitos legales

Autores

JAIME CHICA ESCOBAR

HERNANDO MANUEL QUINTANA ÁVILA

Directora editoral

SILVIA INÉS JIMÉNEZ GÓMEZ

Comité editoral

JORGE AUBAD ECHEVERRI, PhD.

JORGE IVÁN BRAND ORTÍZ, PhD.

SILVIA INÉS JIMENÉZ GÓMEZ, MSc.

EDUARD EMIRO RODRÍGUEZ RAMÍREZ, MSc.

VIVIANA DÍAZ, Esp.

Correctora de textos

LILA MARÍA CORTÉS FONNEGRA

Asistente editorial

VIVIANA DÍAZ

Diagramador

JONATHAN TABORDA HERNÁNDEZ

Diseño de la carátula

ALFONDO TOBÓN BOTERO

Editado en Medellín, Colombia

Sello Editorial Fondo Editorial ITM

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Diseño epub:

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  Índice general

Agradecimientos

Prólogo

Presentación

3. La Hipérbola

3.1. Definición

3.2. Características y puntos notables de la hipérbola

3.3. Ecuaciones analíticas

3.4. Comparación entre los semiejes transverso (a) y conjugado (b)

3.5. Expresión de los radios focales. Otra forma de definir la

3.6. Regiones que determina la en el plano

3.7. El latus rectum de la hipérbola

3.8. Ecuación de la hipérbola con centro en C(h, k)…

3.8.1. Ecuación de la hipérbola con centro en C(h, k) y eje focal paralelo al eje x

3.8.2. Ecuación de la hipérbola de centro en C(h, k) y eje focal paralelo al eje y

3.9. Ejercicios

3.10. Construcciones de la hipérbola trazadas por puntos y métodos continuos

3.10.1. Primera construcción de la hipérbola trazada por puntos

3.10.2. Primera construcción de la hipérbola trazada por un método continuo

3.10.3. Segunda construcción de la hipérbola trazada por un método continuo

3.10.4. Segunda construcción de la hipérbola trazada por puntos

3.10.5. Tercera construcción de la hipérbola trazada por puntos

3.11. Asíntotas de la hipérbola

3.12. Ejercicios

3.13. Hipérbolas conjugadas

3.14. Tangente a la hipérbola por un punto de la curva. Propiedad óptica (o focal) de la curva

3.15. Ángulo de inclinación de la tangente

3.16. Tangente a la hipérbola conjugada por un punto de la curva

3.17. Construcción de la tangente por un punto de la hipérbola

3.18. Propiedad de las tangentes desde los extremos de una cuerda focal

3.19. Ecuación de la hipérbola referida a sus asíntotas

3.20. La hipérbola equilátera (o rectangular)

3.21. Propiedades de la hipérbola equilátera

3.22. Valores de la función f (x, y) = a²y² − b²x² + a²b²

3.23. Intersección de una recta y una hipérbola. Tangentes a una hipérbola de pendiente dada

3.24. Problemas sobre tangentes a la hipérbola

3.25. Rectas tangente, normal, subnormal y subtangente en la hipérbola

3.26. Ecuaciones paramétricas de la hipérbola

3.27. La cuadratura de la hipérbola

3.28. El radio de curvatura en un punto de la hipérbola

3.29. La evoluta de la hipérbola

3.30. Construcción de las tangentes a una hipérbola paralelas a una recta dada

3.31. Tangentes a una hipérbola desde un punto P₀(x₀, y₀) ∈ ext

3.32. Otra forma de encontrar las ecuaciones analíticas de las tangentes…

3.33. Una construcción de la hipérbola y de las tangentes, tanto desde un punto…

3.34. 1^a y 2^a teoremas de Poncelet para la hipérbola…

3.35. Diámetros de la hipérbola

3.36. Semiejes conjugados de la hipérbola

3.37. Los teoremas de Apollonius para la hipérbola

3.38. Construir los ejes de una hipérbola conociendo la posición y longitud…

3.39. Otros lugares geométricos asociados a dos puntos del plano

3.39.1. Primer lugar geométrico: círculo de Apollonius

3.39.2. Segundo lugar geométrico: circunferencia de centro en el punto medio de AB

3.39.3. Tercer lugar geométrico: recta perpendicular a AB

Apéndices

A. Introducción a las cónicas de Apollonius

A.1. Contenido de la obra

Bibliografía

Notas al pie

A la memoria de Giovanny Atehortúa Gutiérrez y su familia.

A Johannes Kepler (1571-1630) con motivo del 400 aniversario de la publicación de su Harmonices Mundi (1619-2019).

No han pasado ni dieciocho meses desde que vi el primer rayo de luz, ni tres meses desde que amaneció, y muy pocos días desde que el Sol, en todo su esplendor, lo más admirable que se puede ver, brilló repentinamente ante mí. Nada me detiene; no me voy a culpar por mi furia sagrada; triunfaré sobre la humanidad cuando confiese honestamente que he robado los vasos de oro de los egipcios para construirle un tabernáculo a mi Dios lejos de los confines de Egipto. Si me perdonáis, me alegraré; si os ponéis furiosos conmigo, podré soportarlo; la suerte está hechada, el libro está escrito para que se lea ahora o en el futuro. No me importa quién lo lea; puede esperar un siglo hasta que surja un lector, dado que Dios ha esperado seis mil años para que alguien observara su obra.

Johannes Kepler, Harmonices Mundi, libro V, 1619.

  Agradecimientos

Esta obra está dedicada al Dr. Dario Valencia R. quien por muchos años fue profesor de la Facultad de Minas de la Universidad Nacional de Colombia, sede Medellín, y a través de lecciones maravillosas e inolvidables nos introdujo en el mundo de la geometría analítica, a transformar los problemas de geometría en problemas de álgebra, utilizando el instrumento de las coordenadas, como ya lo había enseñado René Descartes (1596 - 1650), matemático y filósofo francés del siglo XVII. Ambos autores desean agradecer a Jonathan Taborda Hernández por la diagramación, elaboración del índice, apéndice y edición de la presente monografía en el software computacional LATEX.

  Prólogo

l tercer gigante matemático de la Antigüedad griega, al lado de Euclides (325 a.C - 265 a.C) y Arquímedes (287 a.C - 212 a.C) fue Apollonius (262 a.C - 200 a.C), quien nació en Perga al sur de Asia Menor. Siendo joven fue a Alejandría donde estudió con los sucesores de Euclides y luego pasó la mayor parte de su vida en la universidad de esa ciudad.

Debe su fama a la extraordinaria y monumental obra: Secciones Cónicas, trabajo con el que ganó el título entre sus contemporáneos de «El mejor geómetra».

Las secciones cónicas de Apolonio son 8 libros que contienen aproximadamente 400 proposiciones. Son una investigación profunda de estas curvas: parábola, elipse e hipérbola, que sustituyó trabajos anteriores sobre el mismo tema. Los antiguos griegos las obtenían como secciones de un cono circular recto en un plano que corte al eje del cono. Como se comprende, Apolonio dedujo la mayor parte de las propiedades de las cónicas sin utilizar coordenadas ni ecuaciones de las curvas, como lo hacemos ahora, ya que dicho estudio solo empezó a hacerse después de la creación de la geometría analítica por parte de los matemáticos franceses Rene Descartes (1596 - 1650) y Pierre de Fermat (1601 - 1665).

Estas tres monografías que presentamos: la parábola (1), la elipse (2) y la hipérbola (3), recogen cada una por separado, un estudio de las propiedades geométricas básicas de estas curvas, empezando por la construcción de ellas, todas obtenidas utilizando geometría analítica, es decir, las ecuaciones analíticas de las curvas.

Existe un mecanismo que veremos aplicado a todo lo largo de esta obra. El primer paso, consiste en traducir toda propiedad geométrica que define a una figura, en una relación analítica equivalente a aquella. Cuando esto se hace, se dice que se ha puesto en una ecuación (o ecuaciones) el primitivo enunciado geométrico. Transformar y resolver la ecuación, constituye el siguiente paso, tarea esta, que corresponde al análisis, esto es, al álgebra y el cálculo infinitesimal. El tercer paso, consiste en interpretar geométricamente sobre la figura primitiva, las consecuencias derivadas del proceso analítico.

Hay un punto de vista común que utilizamos en las tres monografías para definir las cónicas: dada una recta llamada directriz, un punto F no contenido en que llamaremos foco y un número real ϵ > 0, denominado excentricidad, la cónica de directriz , foco F y excentricidad ϵ es el conjunto de los puntos P del plano (el plano y F) en los que se cumple que:

   — Cuando ϵ = 1 la cónica se llama parábola

   — Cuando ϵ < 1 la cónica se llama elipse

   — Cuando ϵ > 1 la cónica se llama hipérbola

Hay que señalar que estas curvas tienen gran importancia en la técnica: en muchos diseños de ingeniería se aplican las parábolas, en óptica se utilizan en la construcción de telescopios, en la ingeniería de los radares, en telecomunicaciones, etc.

Pero el lugar donde juegan un papel esencial es en la Ley de Gravitación Universal de Newton (Isaac Newton 1643 - 1727) y en las Leyes de Kepler (Johannes Kepler 1571 - 1630) que rigen el movimiento de los planetas alrededor del Sol. La 1.^a de ellas dice expresamente que «la órbita de todo planeta alrededor del Sol es una elipse, con el Sol en uno de sus focos».

Es posible demostrar que las leyes de Kepler son equivalentes a la Ley de Gravitación Universal. O sea, partiendo de las Leyes de Kepler se puede demostrar la Ley de Gravitación Universal y viceversa. Este es uno de los problemas más importantes que ha resuelto la mente humana y que resolvió Newton utilizando el cálculo que acababa de inventar.

El contenido de cada una de estas monografías puede resumirse así:

■ Definición de la curva

■ Diferentes construcciones de ellas, bien sea por puntos o por métodos continuos

■ Ecuaciones analíticas y análisis de la extensión de cada curva

■ Intersección de una cónica con una recta

■ Propiedades ópticas de cada curva

■ Recta tangente a una cónica y de pendiente dada

■ Ecuación de tangentes y normales por un punto

■ Construcción de la tangente en un punto de la curva

■ Subtangentes y subnormales en un punto. Propiedades

■ Polo y polar de una cónica

■ Diámetros y sus propiedades; diámetros conjugados

■ Ecuación de la cónica referida a un par de diámetros conjugados

■ Distintas ecuaciones paramétricas de las cónicas. Ecuación en coordenadas polares

■ Longitud de arco y cuadratura de cada curva. Radio de curvatura y ecuación de la evoluta

Para el tratamiento del último punto es indispensable el uso de herramientas del cálculo: derivadas e integrales.

También debe señalarse que en las monografías se emplean ecuaciones de rectas, circunferencias y álgebra de vectores. El tratamiento de estos temas se supone conocido por el lector.

Finalmente quedan pendientes tres problemas:

1. Estudio analítico de las secciones obtenidas al cortar un cono con un plano.

2. Los lugares geométricos representados por la ecuación general de segundo grado en dos variables:

3. Los lugares geométricos representados por la ecuación general de segundo grado en tres variables:

Para el estudio de los dos últimos problemas, especialmente el tercero, es indispensable el empleo de valores y vectores propios de una matriz, tema que se estudia en un curso de Álgebra Lineal.

La primera ecuación puede representar una cónica no centrada, o sea, trasladada y rotada en el plano que puede ser:

■ Una circunferencia

■ Una elipse

■ Una parábola

■ Una hipérbola

O una cónica degenerada:

■ Dos rectas paralelas

■ Dos rectas concurrentes

■ Una recta

■ Un punto

■ Φ (vacío), o sea que (x, y) ∈ ² que satisfacen la ecuación (2).

La ecuación puede representar una superficie cuádrica no centrada, o sea, trasladada y rotada a un punto del espacio y puede representar:

■ Un cono circular recto

■ Un cono elíptico

■ Un cono hiperbólico

■ Una esfera

■ Un elipsoide

■ Un hiperboloide de una hoja

■ Un hiperboloide de dos hojas

■ Un paraboloide hiperbólico

O una cuádrica degenerada:

■ Dos planos paralelos

■ Dos planos que se cortan

■ Un plano

■ Un punto

■ Φ, esto es, ningún punto del espacio satisface (2).

Jaime Chica Escobar

Hernando Manuel Quintana Ávila

  Presentación

ste libro es la última de las monografías que hemos redactado sobre las cónicas. Se trata ahora de la hipérbola, la más extraña de las tres curvas y que es la única que tiene dos ramas y dos asíntotas.

Manteniendo el mismo punto de vista, la curva se presenta como el lugar de los puntos cuyo cociente de distancias a una recta fija (la directriz) y a un punto fijo (el foco) se mantiene constante y ahora ϵ > 0.

El texto contiene un estudio geométrico de la curva, su extensión, ecuaciones analíticas y el trazado o construcción por puntos o de manera continua.

También incluye: ecuaciones de tangentes, de normales, propiedades ópticas de la curva. Además, obtención de las ecuaciones de las asíntotas, construcción de tangentes por un punto de la curva y por un punto exterior a la curva, ecuaciones de la hipérbola referida a las asíntotas, así como el estudio de la hipérbola conjugada de una hipérbola dada y la hipérbola equilátera y su construcción.

El estudio continua con los diámetros conjugados de la curva, la ecuación de Chasles de la hipérbola respecto a dos diámetros conjugados, los teoremas de Apollonius y Poncelet para la hipérbola y finalmente el radio de curvatura y la evoluta de la curva, nociones que son importantísimas en dinámica.